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title: 第七章  格与布尔代数
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7.1 格的基本概念

［单选、填空、计算］格的定义。

设＜A，≤＞是一个偏序集，对Va，bEA，子集｛a，b｝在A中都有最大下界（也称为下确界，记为inf｛a，b｝）和最小上界（也称为上确界，记为sup｛a，b｝），则称＜A，≤＞为格。

设＜A，≤＞是一个格，如果在A上定义两个二元运算A和V，使得对Va，bEA，aAb等于a和b的最大下界，aVb等于a和b的最小上界。

设＜S，≤＞是格，P是由格中元素及≤，＝，≥，A和V等符号所表示的命题，如果将P中的≤，＞，A和V分别替换成＞，≤，V和A，得到的命题P＇称为P的对偶命题，简称对偶。

［证明］格的性质。

设＜A，≤＞是一个格，由＜A，≤＞所诱导的代数系统为＜A，A，V＞，则对于Va，b，cEA，有

（1）交换律：aVb＝bVa，aAb＝b＼a。

（2）结合律：aV（bVc）＝（aVb）Vc，aA（bAc）＝（aAb）Ac。

（3）幂等律：aVa＝a，aAa＝a。

（4）吸收律：aV（aAb）＝a，aA（aVb）＝a。

［单选、计算］子格的定义。

设＜L，A，V＞是格，S是L的非空子集，若S关于运算A和V是封闭的，则称くS，A，

V＞是格L的子格。


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7.2 分配格与有补格

［单选、填空、证明］分配格的定义。

设（A，A，V＞是格，若对Va，b，cEA，满足

aA(bVc)=(aAb).V(aAc),

aV(b^c)=(aVb)A(aVc),

则称（A，A，V＞是分配格。

［单选］分配格的判定。

（1）格L是分配格，当且仅当L中不含有与钻石格或五角格同构的子格。

（2）小于五元的格都是分配格。

（3）任意一条链都是分配格。

［单选、填空、计算］格的全上界和全下界。

设＜A，≤＞是一个格，如果存在元素aEA，对于VxEA，都有a≤x，则称a为格くA，≤＞的全下界。如果存在元素bEA，对于VxEA，都有x≤b，则称b为格＜A，≤＞的全上界。

格＜A，≤＞的全下界就是偏序集的最小元，全上界就是偏序集的最大元。可以证明，格A若存在全下界或全上界，一定是唯一的。一般地，全下界记为0，全上界记为1。

设＜A，A，V，0,1＞是有界格，aEA，若存在bEA，使得aVb＝1，且aAb＝0，称b是a的补元。

设＜A，A，V，0,1》是一个有界格，若对于VaEA，在A中都有a的补元存在，则A称为有补格。

7.3 布尔代数

［证明］布尔格的判定。

设有代数系统＜B，A，V，＇，0,1＞，其中B至少包含两个元素，A和V为B上的两个二元运算，为B上一元运算，对Va，b，cEB满足

（H1）aAb＝bAa，aVb＝bVa（交换律）。

（H2）aA（bVc）＝（a＾b）V（aAc），aV（bAc） ＝（aVb）A（a Vc）（分配律）。

（H3）在B中存在零元0，使aV0＝a，aA0＝0；存在单位元1，使aA1＝a，aV1＝1（同一律）。

（H3）a＇EB，使aAa＇＝0，aVa＇＝1（补元律）。 离散数学


则＜B，A，V，＇，0,1＞是布尔格。

在布尔代数（B，A，V，，0,1）中，1是运算A的单位元，0是运算V的单位元。可以证明，1是运算V的零元，0是运算A的零元。
